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So etwas wie eine ungültige Aussage gibt es in der Aussagenlogik nicht

Natürlich gibt es die: A => ^A ist der Klassiker. Es ist nicht möglich, dass ein Argument, dessen Prämisse wahr ist, dann eine widersprüchliche Konklusion liefert. Diesen Zustand nennt man Ungültigkeit und das ist elementar für den Aufbau schlüssiger logischer Argumentation.

Ich zitiere mal diese Quelle: Ein deduktives Argument gilt genau dann als gültig , wenn es eine Form annimmt, die es unmöglich macht, dass die Prämissen wahr und die Schlussfolgerung trotzdem falsch ist. Andernfalls gilt ein deduktives Argument als ungültig.

*Ausgenommen sind selbstreferenzierende Aussagen a la “Diese Aussage ist falsch”. Laut Gödel enthält jedes logische System solche unentscheidbare Widersprüche.

Das ist aber kein aussagenlogisches Argument, sondern einfach (A & ^A) in natürlicher Sprache. Gödels Vollständigkeitssatz ist sogar der formale Beweis der semantischen Vollständigkeit der Prädikatenlogik erster Stufe. Unvollständigkeit wird nur auf Systeme höherer Komplexität angewandt, die unvollständige Argumente in ihrer geschlossenen Domäne bzw. Theorie erlauben, weil sie einfach gar nicht dazugehören. Ich habe das Theorem immer als eine Art Unschärfefilter verstanden, aber ich bin auch kein Mathematiker. Ich bin aber sehr sicher, dass Aussagenlogik (z.B Peano) überhaupt axiomatisch notwendig sind, um die Gödel'schen Sätze über Vollständigkeit und Unvollständigkeit zu beweisen.

Es stimmt also, das eine falsche Prämisse ein beliebiges Ergebnis implizieren kann. Die Gesamtaussage ist dann aber wahr.

Auf keinen Fall ist das so. Das wäre ja schlimm. Stell dir mal vor, dann würde ja Trump mit allem, was er an Bullshit redet, am Ende recht haben. Das ist weder theoretisch noch intuitiv richtig.

“Wenn die Erde flach ist (falsch), dann ist die Antarktis eine große Eismauer (falsch).” Diese Aussage ist wahr. Sie sagt aber nichts über die Realität aus, da die Prämisse nicht stimmt. Genauso kann nämlich eine wahre Aussage impliziert werden:

Nein, die Konklusion dieses Arguments ist beliebig, nicht wahr. Es gibt nicht den Zustand "wahr, aber nicht realistisch" in der Logik. Beliebig ist hier korrekt, weil das Argument selbst eben nicht funktioniert und daher die Konklusion völlig irrelevant (=beliebig) ist.

Das ist übrigens auch der Hinterrgund hinter dem beliebten "Ex contradictione sequitur quodlibet" bzw halt "Ex falso quodlibet". Formal sagt dieser Satz: Es gibt Argumente, die in der Aussagenlogik nicht ohne den Verzicht auf Gültigkeit (=Ungültigkeit) geführt werden können.